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  3. 已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．

已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．

admin2019-02-26  72
问题 已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．
选项
答案由AB=0知矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解，因此Ax=0必有非零解，要求其通解只要求出它的基础解系即可．而基础解系所含向量个数等于3一r(A)，所以需要先确定A的秩r(A)． 由于AB=0，故r(A)+r(B)≤3，又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1． 当k≠9时，r(B)=2，于是r(A)=1； 当k=9时，r(B)=1，于是r(A)=2或r(A)=2． (1)当k≠9时，因r(A)=1，知Ax=0的基础解系含2个向量．又由AB=O可得 [*] 由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为 x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数． (2)当k=9时，分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论． 如果r(A)=2，则Ax=0的基础解系由一个向量构成。又因为[*]=0，所以Ax=0的通解为x=c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数． 如果r(A)=1，则Ax=0的基础解系由两个向量构成．又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，c不全为零，所以Ax=0等价于ax1+bx2+cx3=0．不妨设a≠0，则η1=(一b，a，0)T，η2=(一c，0，a)T是Ax=0的两个线性无关的解，故Ax=0的通解为 x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数．
解析 本题综合考查矩阵秩的概念、齐次线性方程组基础解系的概念及求解方法．注意当r(A)=1时，A的极大无关行向量组只含1个向量，故此时方程组Ax=0可经消元法化为同解方程组ax1+bx2+cx3=0．
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