2. 考研
  3. 设f(x)在[－2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫－xxf(x+t)dt，证明级数F(1／n)绝对收敛．

设f(x)在[－2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫－xxf(x+t)dt，证明级数F(1／n)绝对收敛．

admin2018-06-15  59
问题 设f(x)在[－2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫－xxf(x+t)dt，证明级数F(1／n)绝对收敛．
选项
答案由于f(x)在[－2，2]上有连续的导数，则|f’(x)|在[－2，2]上连续，设M为|f’(x)|在[－2，2]上的最大值。则x∈[－1，1]时， F(x)=∫－xxf(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u－2x) =f(u)(u－2x)|02x－∫02xf’(u)(u－2x)du =－∫02xf’(u)(u－2x)du， 由此可得|F(x)|≤M∫02x(2x－u)du=2Mx2，x∈[－1，1]． 因此|F(1／n)|≤2M／n2(n=1，2，…)，由于[*]1／n2收敛，由比较判别法可得[*]|F(1／n)|收敛，即[*]F(1／n)绝对收敛．
解析
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考研数学一

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