设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．

admin2021-10-18 55

问题设f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．

选项

答案由f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt，得f(x)=e^x-x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=e^x-∫₀^xf(t)dt，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e^x，其通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinax+1/2e^x，在f(x)=e²-∫₀^x(x-t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=e^{x/sup>-∫₀^xf(t)dt中，令x=0得f’(0)=1，于是有C₁=1/2，C₂=1/2．故f(x)=1/2(cosx+sinx)+1/2e^x．}

解析

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