用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x2一4x2x3为标准二次型．

admin2020-03-10 74

问题用正交变换法化二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²一4x₁x₂一4x₁x₂一4x₂x₃为标准二次型．

选项

答案f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，其中X=[*] 由|λE一A|=[*]=(λ+3)(λ一3)²=0得λ₁=一3，λ₂=λ₃=3．由(一3E一A)X=0得Aλ₁=一3对应的线性无关的特征向量为α₁=[*] 由(3E一A)X=0得λ₂=λ₃=3对应的线性无关的特征向量为 α₂=[*] α₃=[*] 将α₂，α₃正交化得β₂=[*]，β₃=α₃一[*]，单位化得 [*] 则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX[*]，Y^T(Q^TAQ)Y=一3y₁²+3y₂²+3y₃²．

解析

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考研数学三

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