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(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
admin
2021-01-19
111
问题
(17)设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
-x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
-8x
1
x
3
+2x
1
x
3
在正交变换x=Qy下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)的矩阵为A=[*] 由题设知Q
-1
AQ=Q
T
AQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2，由A的特征方程 [*] =(λ-6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ
1
=6，λ
2
=-3，λ
3
=0． 对于λ
1
=6，解方程组(6I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ
1
=[*](1，0，-1)
T
； 对于λ
2
=-3，解方程组(-3I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ
2
=[*](1，-1，1)
T
； 对于λ
3
=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ
3
=[*](1，2，1)
T
． 因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/TV84777K
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考研数学二
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