设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．

admin2019-04-08 47

问题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．

选项 A、当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0
B、当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0
C、当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0
D、当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0

答案B

解析利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有
秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n＜m．
再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．

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