2. 考研
  3. 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

admin2021-07-27  50
问题 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．
选项
答案用反证法．设α1，α2，…，αs，β中存在s个向量α1，α2，…，αi-1，αi+1，…，αs，β线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks，k，使得k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs，kβ=0．另一方面，由题设有β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs，其中li≠0，i=1，2，…，s．代入上式，得(k1+kl1)α1+(k2+kl2)α2+…+(ki-1+kli-1)αi-1+kliαi+(ki+1+kli+1)αi-1+…+(ks+kls)αs=0．因α1，α2，…，αs线性无关，从而有kli=0，li≠0，得k=0，从而得k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks均为零，矛盾．故α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．
解析
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考研数学二

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