设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )

admin2018-01-12 41

问题设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )

选项 A、充分必要条件。
B、充分条件但非必要条件。
C、必要条件但非充分条件。
D、既非充分条件也非必要条件。

答案A

解析令φ(x)=f(x)｜sinx｜，显然φ(0)=0。由于

而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ’₊(0)与φ’_-(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，
则必有φ’₊(0)=φ’_-(0)；若φ’₊(0)=φ’_-(0)，即有f(0)=-f(0)，从而f(0)=0。因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件。故选A。

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