设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝一2，f’(0)＝1，f"(x)≥0．证明：f(x)＝0在 (0，＋∞)内有且仅有一个根．

admin2015-07-24 62

问题设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝一2，f’(0)＝1，f"(x)≥0．证明：f(x)＝0在 (0，＋∞)内有且仅有一个根．

选项

答案因为f"(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)＝1．当x＞0时，f(x)一f(0)＝f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)＋x，因为[*]＝＋∞，所以[*]．由f(x)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＝一2＜0，[*]＝＋∞，则f(x)＝0在(0，＋∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．

解析

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