设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜＝｜B｜； (2)r(A)＝r(B)； (3)AB； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )。

admin2020-04-22 39

问题设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系：
(1)｜A｜＝｜B｜； (2)r(A)＝r(B)； (3)A

B； (4)A～B； (5)A

B
中正确的有( )。

选项 A、(1)，(2)
B、(1)，(2)，(3)
C、(1)，(3)，(5)
D、(1)，(2)，(3)，(4)，(5)

答案D

解析解由题设有E_ijAE_ij＝B，E_ij有些什么性质呢?
(1)｜E_ij｜＝－1，因而｜E_ij｜｜E_ij｜＝1，故
｜E_ij｜｜A｜｜E_ij｜＝｜B｜，即｜A｜＝｜B｜。
(2)因｜E_ij｜≠0，故E_ij可逆，所以r(E_ijA)＝r(A)，r(AE_ij)＝r(A)，故
r(B)＝r(E_ijAE_ij)＝r(AE_ij)＝r(A)。
(3)由E_ijAE_ij＝B说明了A

B。
(4)因E_ij^－1＝E_ij，故E_ijAE_ij＝E_ij^－1AE_ij＝B，所以A～B。
(5)因E_ij＝E_ij^T，故E_ijAE_ij＝E_ij^TAE_ij＝B，所以A

B。
因此，选项(D)正确。

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考研数学一

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设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜＝｜B｜； (2)r(A)＝r(B)； (3)AB； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )。

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