已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

admin2019-01-19 66

问题已知A是三阶实对称矩阵，满足A⁴+2A³+A²+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是 Aⁿα=λⁿα。用α右乘A⁴+2A³+A²+2A=O，得(λ⁴+2λ³+λ²+2λ)α=0。因为特征向量α≠0，故λ⁴+2λ³+λ²+2λ=λ(λ+2)(λ²+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A相似于Λ，则有A+E与Λ+E=[*]相似，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。

解析

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