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A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,λ3=-2的特征向量是ξ3. 证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量,并求对应的特征值.
A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,λ3=-2的特征向量是ξ3. 证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量,并求对应的特征值.
admin
2018-07-23
92
问题
A是3阶矩阵,有特征值λ
1
=λ
2
=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ
1
,ξ
2
,λ
3
=-2的特征向量是ξ
3
.
证明任意三维非零向量β都是A
2
的特征向量,并求对应的特征值.
选项
答案
因A有特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-2,故A
2
有特征值μ
1
=μ
2
=μ
2
=4.对应的特征向量仍是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,且ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.故存在可逆矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),使得 P
-1
A
2
P=4E,A
2
=P(4E)P
-1
=4E, 从而对任意的β≠0,有A
2
β=4Eβ=4β,故知任意三维非零向量β都是A
2
的对应于μ=4的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Qzj4777K
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考研数学二
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