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已知方程组 有解，证明：方程组 的任意一组解必是方程(Ⅲ)b1x1+b2x2+…+bmxm=0的解．
已知方程组 有解，证明：方程组 的任意一组解必是方程(Ⅲ)b1x1+b2x2+…+bmxm=0的解．
admin
2016-10-20
56
问题
已知方程组
有解，证明：方程组
的任意一组解必是方程(Ⅲ)b
1
x
1
+b
2
x
2
+…+b
m
x
m
=0的解．
选项
答案
1°记方程组(Ⅰ)的系数矩阵为A，增广矩阵是[*]，由于(Ⅰ)有解，故r(A)=[*]．那么(b
1
，b
2
，…，b
m
)
T
可用A的列向量线性表出．联立(Ⅱ)、(Ⅲ)，得方程组 [*] 显然，系数矩阵是[*]，可见方程组(Ⅳ)中最后一个方程是多余的，即(Ⅱ)与(Ⅳ)是同解方程组，这就是(Ⅱ)的任一解必是(Ⅲ)的解． 2°记y=(y
1
，y
2
，…，y
n
)
T
，x=(x
1
，x
2
，…，x
m
)
T
，b=(b
1
，b
2
，…，b
m
)
T
． 由于(Ⅰ)有解，故存在y使Ay=b，那么b
T
=y
T
A
T
．设x是方程组(Ⅱ)A
T
x=0的任一解，于是b
T
x=y
T
A
T
x=y
T
0=0，即b
1
x
1
+b
2
x
2
+…+b
m
x
m
=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅲ)的解．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/QlT4777K
0
考研数学三
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[*]
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