设A是n阶实对称矩阵，B是n阶可逆矩阵。已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(B-1AB)T属于特征值λ的特征向量是( )

admin2022-06-22 9

问题设A是n阶实对称矩阵，B是n阶可逆矩阵。已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(B^-1AB)^T属于特征值λ的特征向量是( )

选项 A、B^-1a
B、B^Ta
C、Ba
D、(B^-1)^Ta

答案B

解析因为A^T=A，B可逆，Aa=λa，a≠0，则
(B^-1AB)^T(B^Ta)=B^TA^T(B^-1)^T(B^Ta)=B^TA(B^T)^-1(B^Ta)=B^TAa=λB^Ta，
其中B^Ta≠0，若不然，a=(B^T)^-1(B^Ta)=(B^T)^-10=0，矛盾。
故B^Ta是(B^-1AB)^T的属于特征值A的特征向量。
另外，若取

。易验证，B^-1a，Ba，(B^-1)^Ta不是(B^-1AB)^T的属于特征值λ的特征向量。
故选B。

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