设函数f(χ)连续，且∫0χf(t)dt＝sin2χ＋∫0χtf(χ－1)dt．求f(χ)．

admin2016-10-21 63

问题设函数f(χ)连续，且∫₀^χf(t)dt＝sin²χ＋∫₀^χtf(χ－1)dt．求f(χ)．

选项

答案将[*] 代入原方程即得∫₀^χf(t)dt＝sin2χ＋χ∫₀^χf(u)du－∫₀^χuf(u)du． ① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得 f(χ)＝2sinχcosχ＋∫₀^χf(u)du＝sin2χ＋∫₀^χf(u)du． ② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得 f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)．故求y＝f(χ)等价于求解初值问题[*]的特解．解之可得 y＝f(χ)＝[*](e^χ＋2sin2χ－cos2χ) ．

解析

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