2. 考研
  3. (16)已知矩阵A= (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

(16)已知矩阵A= (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

admin2018-08-01  107
问题 (16)已知矩阵A=
(Ⅰ)求A99；
(Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
选项
答案(Ⅰ)利用方阵A的相似对角化来求方阵A的幂，为此先来求A的特征值与特征向量，由 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0， 得A的全部特征值为λ1=0，λ2=-1，λ3=-2， 对于特征值λ1=0，解方程组Ax=0，得对应的特征向量ξ1=(3，2，2)T， 对于特征值λ2=-1，解方程组(-E-A)x=0，得对应的特征向量ξ2=(1，1，0)T， 对于特征值λ3=-2，解方程组(-2E-A)x=0，得对应的特征向量ξ3=(1，2，0)T， 令矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*]，则P-1AP=[*]=D． 于是得 A99=(PDP-1)99=PD99P-1 [*] (Ⅱ)因为B2=BA，所以 B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=…=BA99， 即 (β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)[*] 所以 [*]
解析
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考研数学二

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