设函数f(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

admin2019-01-24 39

问题设函数f(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

选项 A、若f(x)在(a，b)内有界，则f＇(x)在(a，b)内亦有界．
B、若f＇(x)在(a，b)内有界，则f(x)在(a，b)内亦有界．
C、若f(x)在(a，＋∞)内有界，则f＇(x)在(a，＋∞)内亦有界．
D、若f＇(x)在(a，＋∞)内有界，则f(x)在(a，＋∞)内亦有界．

答案B

解析设f＇(x)在(a，b)内的界为M，即｜f＇(x)｜≤M，x∈(a，b)．在(a，b)内任取一个闭区间[α，β]，

．因为f＇(x)在(a，b)内存在，所以f(x)在(a，b)内连续，从而在[α，β]上连续，因此存在M₁，当x∈[α，β]时｜f(x)｜≤M₁．在[α，β]内取定x₀，在(a，b)内任取x．在区间[x₀，x]或[x，x₀]上用拉格朗日中值公式，得
f(x)＝f(x₀)＋f＇(ξ)(x－x₀)，
｜f(x)｜≤｜f(x₀)｜＋｜f＇(ξ)｜｜x－x₀｜
≤M₁＋M(b－a)，
所以f(x)在(a，b)内有界．
以下分别举例说明(A)，(C)，(D)不正确．
(A)的反例．设