设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A—B2是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )

admin2018-03-30 87

问题设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A—B²是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )

选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．

答案C

解析因 (A—B^T)^T=A^T+[(一B)B]^T=A^T+(B^TB)^T
=A^T+B^TB=A—B²，
  故A—B^T是对称阵．
  又任给x≠0，则有
x^T(A—B²)x=x^TAx—x^T(一B)^TBx=x^TAx+(Bx)^TBx，
  A正定，x^TAx＞0，(Bx)^T(Bx)≥0．则x^T(A—B²)x＞0，故A—B²是正定阵．
  A—B²是正定阵，则A—B²是可逆阵，故结论①，③，④正确，应选(C)．

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