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设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若 Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn—1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关; (2)求A的特征值与特征向量.
设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若 Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn—1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关; (2)求A的特征值与特征向量.
admin
2016-10-13
88
问题
设A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,…,α
n
是n维列向量,且α
n
≠0,若
Aα
1
=α
2
,Aα
2
=α
3
,…,Aα
n—1
=α
n
,Aα
n
=0.
(1)证明:α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关;
(2)求A的特征值与特征向量.
选项
答案
(1)令x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=0,则 x
1
Aα
1
+x
2
Aα
2
+…+x
n
Aα
n
=0→x
1
α
2
+x
2
α
3
+…+x
n—1
α
n
=0 x
1
Aα
2
+x
2
Aα
3
+…+x
n—1
Aα
n
=0→x
1
α
3
+x
2
α
4
+…+x
n—2
α
n
=0 x
1
α
n
=0 因为a
n
≠0,所以x
1
=0,反推可得x
2
=…=x
n
=0,所以α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关. (2)A(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)[*]=B,则A与B相似,由|λE一B|=0→λ
1
=…=λ
n
=0,即A的特征值全为零,又r(A)=n一1,所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,而Aα
n
=0α
n
(α
n
≠0),所以A的全部特征向量为kα
n
(k≠0).
解析
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