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  3. 设函数φ(x)在(一∞，+∞)内连续，周期为1，且函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设证明：级数收敛．

设函数φ(x)在(一∞，+∞)内连续，周期为1，且函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设证明：级数收敛．

admin2020-05-02  24
问题 设函数φ(x)在(一∞，+∞)内连续，周期为1，且函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设证明：级数收敛．
选项
答案由已知条件，有[*] 令[*]则F(x)是周期为1的周期函数，且F′(nx)=φ(nx)，F(0)=F(n)=0，因此 [*] 因为F(x)是连续的周期函数，所以F(x)有界，即存在M1＞0，使得对任意的x∈(－∞，+∞)，有|F(x)|≤M，即|F(nx)|≤M．又因为f′(x)在[0，1]上连续，所以存在M2＞0，使得对任意的x∈(0，1)，有|f′(x)|≤M2，进而 [*] 于是[*]由正项级数比较法知[*]收敛．
解析
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考研数学一

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