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  3. 设齐次线性方程组 的系数矩阵为A= 设Mi(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明： (Ⅰ)(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量； (Ⅱ)如果A的秩为n-1，则方程组的所有解向量是(M1，-M2，…，(-1

设齐次线性方程组 的系数矩阵为A= 设Mi(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明： (Ⅰ)(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量； (Ⅱ)如果A的秩为n-1，则方程组的所有解向量是(M1，-M2，…，(-1

admin2019-05-14  55
问题 设齐次线性方程组

的系数矩阵为A=
设Mi(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明：
(Ⅰ)(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量；
(Ⅱ)如果A的秩为n-1，则方程组的所有解向量是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)的倍数。
选项
答案(Ⅰ)作n阶行列式 Di=[*]，i=1，2，…，n-1。 因为Di的第一行与第i+1行是相同的，所以Di=0。 Di的第一行元素的代数余子式依次为M1，-M2，…，(-1)n-1Mn，将Di按第一行展开，得 ai1M1+ai2(-M2)+…+ain[(-1)n-1Mn]=0，(i=l，2，…，n-1)， 这说明(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)满足第i(i=1，2，…，n-1)个方程，故它是方程组的一个解。 (Ⅱ)因为R(A)=n-1，所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n-(n-1)=1，同时因为R(A)=n-1，说明A中至少有一个(n-1)阶子式≠0，即M1，M2，…，Mn不全为0，于是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程组的一个非零解，它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)的倍数。
解析
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考研数学一

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