设a0，a1，an－1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于特征值λ的特征向量； (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使Pλ1AP=A．

admin2019-08-06 70

问题设a₀，a₁，a_n－1是n个实数，方阵

(1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ²，…，λ^n－1]^T是A的对应于特征值λ的特征向量；
(2)若A有n个互异的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，求可逆阵P，使Pλ₁AP=A．

选项

答案(1)λ是A的特征值，则λ应满足｜λE－A｜=0，即｜λE－A｜=[*]=0．将第2列乘λ，第3列乘λ²，…，第n列乘λ^n－1加到第1列，再按第1列展开，得 [*] 即λⁿ+[*]a_iλⁱ=0，即λ应满足关系λⁿ=[*]a_iλⁱ． [*] 得证ξ=[1，λ，λ²，…，λ^n－1]^T是A的对应于λ的特征向量． (2)因λ₁，λ₂，…，λ_n互异，故特征向量ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性无关，取可逆阵P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，得 P^－1AP=[*] 其中ξ_i=[1，λ_i，λ_i²，…，λ_i^n－1]^T，i=1，…，n．

解析

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考研数学三

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设a0，a1，an－1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于特征值λ的特征向量； (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使Pλ1AP=A．

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