设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3线性无关．

admin2019-08-28 57

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，证明：α₁+α₂+α₃，α₁+2α₂+3α₃，α₁+4α₂+9α₃线性无关．

选项

答案方法一令k₁(α₁+α₂+α₃)+k₂(α₁+2α₂+3α₃)+k₃(α₁+4α₂+9α₃)=0，即 (k₁+k₂+k₃)α₁+(k₁+2k₂+4k₃)α₂+(k₁+3k₂+9k₃)α₃=0，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以有 [*] 而D=[*](i-j)=2≠0，由克拉默法则得k₁=k₂=k₃=0，所以α₁+α₂+α₃，α₁+2α₂+3α₃，α₁+4α₂+9α₃线性无关．方法二令A=(α₁，α₂，α₃)，B=(α₁+α₂+α₃，α₁+2α₂+3α₃，α₁+4α₂+9α₃)，则B=[*]可逆，所以r(B)=r(A)=3，故α₁+α₂+α₃，α₁+2α₂+3α₃，α₁+4α₂+9α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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