已知A与A－E均是n阶正定矩阵，证明：E－A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05 23

问题已知A与A－E均是n阶正定矩阵，证明：E－A^﹣1是正定矩阵．

选项

答案由于A与A－E均是n阶正定矩阵，所以A^T＝A且A可逆，因为(E－A^﹣1)^T＝E^T－(A^﹣1)^T＝E－(A^T)^﹣1＝E－A^﹣1，所以E－A^﹣1是对称矩阵．设λ是矩阵A的特征值，则由A与A－E均是n阶正定矩阵可得λ﹥0，λ－1﹥0，因此E－A^﹣1的特征值[*]﹥0，因此矩阵E－A^﹣1是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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