设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，使ξf(ξ)=f(x)dx．

admin2016-11-03 76

问题设函数f(x)在[0，1]上连续且非负，证明：在(0，1)内存在一点ξ，使ξf(ξ)=

f(x)dx．

选项

答案由题设知，显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的诸条件．由该定理知，存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)=0，即 [*] 亦即 [*] 注意若按照一般辅助函数F(x)的构造方法，自然想到令F(x)=xf(x)一[*]f(t)dt，但此时F(0)=－[*]f(t)dt≤0，F(1)=f(1)一[*]f(t)dt=f(1)≥0，得不到F(x)在[0，1]区间端点处严格异号，因而不能直接使用罗尔定理．

解析将待证等式改写为xf(x)=