已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1．证明： (1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f’(η)f’(ζ)＝1．

admin2021-01-19 82

问题已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1．
证明：
(1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ；
(2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f’(η)f’(ζ)＝1．

选项

答案(1)令F(x)＝f(x)－1＋x，则F(x)在[0．1]上连续，且F(0)＝－1＜0，F(1)＝1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)使得F(∈)＝0，即f(ξ)＝1－ξ． (2)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得[*] 于是[*]

解析 (1)显然用闭区间上连续函数的介值定理；(2)为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用(1)的结论．

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考研数学二

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已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导。且f(0)＝0，f(1)＝1．证明： (1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)＝1—ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)使得f’(η)f’(ζ)＝1．

考研数学二

设A=(α1,α2,α3,α4)，其中A为A的伴随矩阵，α1,α2,α3,α4为4维列向量，且α1,α2,α3线性无关，α4=α1+α2，则方程组Ax=0

设(x)=(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．

设矩阵A＝(1)若A有一个特征值为3，求a；(2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．

从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变．已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明：其半径r的增加率与r3成反比．

设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．

设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(a)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)

设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx﹦()

设函数f(x)处处可导，且0≤f’(x)≤(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{x0}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

制定编制法的主要目的在于（）。

当环境温度低于体温时，机体的散热方式为

关于阴茎悬韧带下列说法不正确的是

宫颈糜烂程度分度是根据（　　）。

31～32：某窗间墙截面尺寸为1500mm×370mm，采用MU10烧结多孔砖、M7.5混合砂浆砌筑。墙上钢筋混凝土梁的截面尺寸b×h=300mm×600mm，如图3-8所示。梁端支承压力设计值Nt=60kN，由上层楼层传来的荷载轴向力设计值为Nu=90k

在制定政策前应就现实条件进行调查，以尽量避免执行时遇到问题，这种做法是遵循了政策制定的()。

请从所给的四个选项中，选择最符合左侧图形规律的一项。()

古有“孟母三迁"，现在也有很多家长为了孩子上学搬到学校附近，你是如何看待这种现象的?

在一个小型互联网中，动态刷新路由器的路由表可以使用的协议为()。

A、He’snotsurewhetherithasbeenputinthedirectory.B、Itcanbefoundinthetelephonebook.C、Heagreesthatitshouldha

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设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(a)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)

设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx﹦()

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