设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．

admin2021-11-15 42

问题设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．

选项

答案方法一因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得Q^TAQ=[*] 其中λ₁＞0，λ₂＞0，…，λ_n＞0，因此Q^T(A+E)Q=[*] 于是|Q^T(A+E)Q|=|A+E|=(λ₁+1)(λ₂+1)…(λ_n+1)＞1．方法二因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ₁＞0，λ₂＞0，…，λ_n＞0，因此A+E的特征值为λ₁+1＞1，λ₂+1＞1，…，λ_n+1＞1，故|A+E|=(λ₁+1)(λ₂+1)…(λ_n+1)＞1．

解析

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考研数学二

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