2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)3/24f"(ξ)．

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)3/24f"(ξ)．

admin2022-10-25  69
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)3/24f"(ξ)．
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=(a+b)/2，由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+F"(x0)/2!(a-x0)2+F"’(ξ1)/3!(a-x0)3，ξ1∈(a，x0)，F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+F"(x0)/2!(b-x0)2+F"’(ξ2)/3!(b-x0)3，ξ2∈(b，x0)，两式相减得F(b)-F(a)=F’(x0)(b-a)+(b-a)3/48[F’"(ξ1)+F’"(ξ2)]，即∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b/2)/2)+(b-a)3/48[f"(×1)+f"(ξ2)]，因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2]∈(a，b)，使得f"(ξ)=1/2[f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)3/24f"(ξ)．
解析
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考研数学三

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