设A是3阶矩阵，Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，Aξ3=ξ3，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=其中P是 ( )

admin2018-08-22 68

问题设A是3阶矩阵，Ax=0有通解k₁ξ₁+k₂ξ₂，Aξ₃=ξ₃，则存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=

其中P是 ( )

选项 A、[ξ₁，ξ₂，ξ₁+ξ₃]
B、[ξ₂，ξ₃，ξ₁]
C、[ξ₁+ξ₂，一ξ₂，2ξ₃]
D、[ξ₁+ξ₂，ξ₂一ξ₃，ξ₃]

答案C

解析由题意，知ξ₁，ξ₂是A的对应于特征值λ₁=0的线性无关的特征向量，ξ₃是A的对应于特征值λ₂=1的特征向量，且注意下列概念：
①A的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合，如λ=0对应的特征向量是ξ₁，ξ₂，则k₁ξ₁+k₂ξ₂为非零向量时，仍是A的对应于该特征值的特征向量．λ=1对应的特征向量是ξ₃，则kξ₃仍是λ=1对应的特征向量，k为任意非零常数．
②对不同特征值λ₁≠λ₂，则对应的特征向量的线性组合(如ξ₁+ξ₃，ξ₂一ξ₃等)不再是A的特征向量．
③P中的特征向量排列次序应与对角阵中λ的排列次序一致．
由上述三条知应选(C)，因(C)中，ξ₁+ξ₂，一ξ₂仍是对应于特征值λ=0的特征向量，2ξ₃仍是对应于特征值λ=1的特征向量，且与对角矩阵中特征值的排列次序一致．故应选(C)．
(A)中ξ₁+ξ₃不是特征向量，(B)中ξ₃，ξ₁对应的特征值的排列次序不一致，(D)中ξ₂一ξ₃不是特征向量，故都是错误的．

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