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设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2)，求f(u)．
设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2)，求f(u)．
admin
2019-07-22
84
问题
设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(e
x
2
-y
2
)满足方程
=4(x
2
+y
2
)，求f(u)．
选项
答案
z=f(e
x
2
-y
2
)是z=f(u)与u=e
x
2
-y
2
的复合函数，由复合函数求导法可导出[*]与f’(u)，f’’(u)的关系式，从而由[*]=4(x
2
+y
2
)导出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)． 令u=e
x
2
-y
2
，则有 [*] 其中[*]=2x
x
2
-y
2
=2xu，[*]=-2ye
x
2
-y
2
=-2yu． 进而可得 [*]=4x
2
u
2
f’’(u)+(2u+4x
2
u)f’(u)， [*]=4y
2
u
2
f’’(u)-(2u-4y
2
u)f’(u)． 所以 [*]=4(x
2
+y
2
)u
2
f’’(u)+4(x
2
+y
2
)uf’(u)． 由题设条件，得u
2
f’’(u)+uf’(u)-1=0． 这是可降阶的二阶方程，令P=f’(u)，则方程化为u
2
[*]+uP=1． 解此一阶线性方程．将上述方程改写成 [*]uP=lnu+C
1
，即P=[*] 记y=f(u)，于是[*]ln
2
u+C
1
lnu+C
2
(u＞0)， 其中C
1
，C
2
为任意常数．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/MQN4777K
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考研数学二
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