2. 考研
  3. (1998年试题，八)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．(1)试证存在xo∈(0，1)，使得在区间[0，x]上以f(xo)为高的矩形面积，等于在区间[xo，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积．(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导

(1998年试题，八)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．(1)试证存在xo∈(0，1)，使得在区间[0，x]上以f(xo)为高的矩形面积，等于在区间[xo，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积．(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导

admin2019-03-21  100
问题 (1998年试题，八)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．(1)试证存在xo∈(0，1)，使得在区间[0，x]上以f(xo)为高的矩形面积，等于在区间[xo，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积．(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且，证明(1)中的xo是唯一的．
选项
答案根据题意，若存在满足条件的xo∈(0，1)，则有[*]为证明此式，引入辅助函数F(x)，使得[*]不难发现[*]且F(0)=F(1)=0，并且f(x)在[0，1]上可导，则由罗尔定理知，存在x0∈(0，1)使得f’(x0)=0，即[*]因此x0的存在性得证．下面证明在题设(2)的条件下，(1)中x0的唯一性．事实上，只要证明f’(x)在[0，1]上是严格单调的即可，由(2)中已知条件f’(x)>[*]，由于[f’(x)]’=f(x)+xf’(x)十f(x)=2f(x)+xf’(x)>0，因而f’(0,1)在[0，1]严格单调递增，因此(1)中的x0的唯一性也得证．评注关于(1)中x0的存在性的证明，也可采用以下方法：若存在x1[*]使得f(x)=0，[*]，则任取x0∈(x1，1)，有x0f(x0)=0=[*]若上述x1不存在，任取[*]由于f(x)在[c，1]上连续，由最值定理，存在x2∈[c，1]，使得f(x2)>0为f(x)在[c，1]上的最大值．在区间[0，x2]上作辅助函数[*]则φ(x)连续，且φ(0)>0．又[*]φ(x2)[*]一x2f(x2)≤(1—2x2)f(x2)<0因而由闭区间上连续函数的零点定理，存在x0∈(0，x2)c(0，1)，使φ(x0)=0，即[*]
解析
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考研数学二

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