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  3. 判断下列结论是否正确?为什么? (Ⅰ)若函数f(χ)，g(χ)均在χ0处可导，且f(χ0)＝g(χ0)，则f′(χ0)＝g′(χ0)； (Ⅱ)若χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)，χ≠χ0时f(χ)＝g(χ)，则f(χ)与g(χ)在χ＝χ0处有相同

判断下列结论是否正确?为什么? (Ⅰ)若函数f(χ)，g(χ)均在χ0处可导，且f(χ0)＝g(χ0)，则f′(χ0)＝g′(χ0)； (Ⅱ)若χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)，χ≠χ0时f(χ)＝g(χ)，则f(χ)与g(χ)在χ＝χ0处有相同

admin2018-08-12  100
问题 判断下列结论是否正确?为什么?
    (Ⅰ)若函数f(χ)，g(χ)均在χ0处可导，且f(χ0)＝g(χ0)，则f′(χ0)＝g′(χ0)；
    (Ⅱ)若χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)，χ≠χ0时f(χ)＝g(χ)，则f(χ)与g(χ)在χ＝χ0处有相同的可导性；
    (Ⅲ)若存在χ0的一个邻域(χ0－δ，χ0＋δ)，使得χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)时f(χ)＝g(χ)，则f(χ)与g(χ)在χ0处有相同的可导性．若可导，则f′(χ0)＝g′(χ0)．
选项
答案(Ⅰ)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(χ0)＝g(χ0)不能保证f′(χ0)=g′(χ0)．正如曲线y＝(χ)与y＝g(χ)可在某处相交但并不相切． (Ⅱ)不正确．例如f(χ)＝χ2，g(χ)＝[*]显然，当χ≠0时f(χ)＝g(χ)，但f(χ)在χ＝0处可导，而g(χ)在χ＝0处不可导(因为g(χ)在χ＝0不连续)． (Ⅲ)正确．由假设可得当χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)，χ≠χ0时 [*] 故当χ→χ0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．
解析
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考研数学二

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