2. 考研
  3. (1997年)设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上大于零，并满足χf′(χ)＝f(χ)＋χ2(a为常数)，又曲线y＝f(χ)与χ＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(χ)．并问a为何值时，图形S绕χ轴旋转一周所得旋转体

(1997年)设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上大于零，并满足χf′(χ)＝f(χ)＋χ2(a为常数)，又曲线y＝f(χ)与χ＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(χ)．并问a为何值时，图形S绕χ轴旋转一周所得旋转体

admin2021-01-19  75
问题 (1997年)设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上大于零，并满足χf′(χ)＝f(χ)＋χ2(a为常数)，又曲线y＝f(χ)与χ＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(χ)．并问a为何值时，图形S绕χ轴旋转一周所得旋转体体积最小．
选项
答案由题设知，当χ≠0时[*]，即[*]据此并由f(χ)在点χ＝0处的连续性，得 f(χ)＝[*]aχ2＋cχ χ∈[0，1] 又由已知条件得 [*] 即c＝4－a 因此f(χ)＝[*]aχ2＋(4－a)χ 所求旋转体体积为 [*] 由V′(a)＝([*])π＝0，得a＝－5 又V〞(a)＝[*]＞0 故a＝－5时，旋转体体积最小．
解析
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考研数学二

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