2. 考研
  3. (1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积

(1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积

admin2021-01-19  46
问题 (1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线)，=y(x)的方程．
选项
答案由题设，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为y一y=y’(x)(X一x)，它与x轴的交点为[*]．从而[*]又由已知，[*]．由条件2S1一S2=1知[*]将上式两边对x求导并化简得yy’’=y’2．令p=y’代入上式，则[*]，分离变量得[*]，积分解得p=C1y，因此[*]，于是y=eC1x+C2；又由y(0)=1，y’(0)=1，可得C1=1，C2=0，所以所求曲线的方程是y=ex．问题．
解析 本题是一道综合题，涉及切线问题、平面图形的面积公式、含变限积分的函数方程和微分方程问题，该题没有直接给出含变限积分的函数方程，而是由变化区间[0，x]上的面积用变限积分来表示，同样，以后在求变化区间上的体积、弧长等的时候，均可以转化为含有变限积分的函数方程
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考研数学二

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