已知函数f(x)二阶可导，且，则f(x)＝__________。

admin2019-01-25 55

问题已知函数f(x)二阶可导，且

，则f(x)＝__________。

选项

答案[*]， C₁,C₂为任意常数

解析本题考查变限积分求导和二阶非齐次微分方程求解。首先处理积分∫¹₀f(tx)dt，在等式两端乘以x，令u＝tx，原式化为含变上限积分的等式；再通过对变形后的方程两边同时求导构造二阶微分方程；最后利-用二阶非齐次方程求解步骤求通解。
将所给的方程两端同乘以x可得

令u＝tx，上式变为

两边同时对x求导，得微分方程f＂(x)－4f(x)＝e^2x，即y＂－4y＝e^2x。y＂－4y＝0的特征根为λ＝±2，因此对应齐次方程的通解为y＝C₁e^－2x＋C₂e^2x。
设特解为y^*＝Axe^2x,代入y＂－4y＝e^2x，解得

，所以

，C₁，C₂为任意常数。

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考研数学三

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求解微分方程满足条件y(0)=0的特解．

微分方程y’+ay=b(其中a，b均为常数)的通解是_________．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：∫abf(x)dx．∫ab≥(b—a)2．

设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜)}上服从均匀分布．令(1)写出(X，Y)的概率密度f(x，y)；(2)问U与X是否相互独立?并说明理由；(3)求Z=U+X分布函数F(x)．

设f(t)为连续函数，常数a＞0，区域D={(x，y)｜｜x｜≤}，证明：f(x—y)dxdy=∫—aaf(t)(a一｜t｜)dt．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(x)dx=f(2)，试证：存在一点ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=0．

设随机变量X服从正态分布N（μ2，σ2），其分布函数为F（x），则有（）

设x1，x2，…xn是来自总体．X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为()

设函数f（x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f（0）f’（0）≠0，当h→0时，若a[（h）+bf（2h）—f（0）=a（h），试求a，b的值。

设X1，X2，…，Xn…为相互独立同分布的随机变量序列，且E(X1)=0，D(X1)=1，则=()

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