设向量组A可由向量组B线性表示，且秩R(A)＝R(B)，证明向量组A与B等价．

admin2022-03-20 99

问题设向量组A可由向量组B线性表示，且秩R(A)＝R(B)，证明向量组A与B等价．

选项

答案设秩R(A)＝R(B)＝r，且α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r分别是向量组A与B的极大线性无关组．由于向量组A可由向量组B线性表示，故α₁，α₂，…，α_r可由β₁，β₂，…，β_r线性表示，于是R(α₁，α₂，…α_r，β₁，β₂，…，β_r)＝R(β₁，β₂，…，β_r)＝r．又因α₁，α₂，…，α_r线性无关，于是α₁，α₂，…，α_r是向量组α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r的极大线性无关组，从而β₁，β₂，…，β_r可由α₁，α₂，…α_r线性表示，进而向量组B可由α₁，α₂，…，α_r线性表示，即向量组B可由向量组A线性表示．又已知向量组A可由向量组B线性表示，所以向量组A与向量组B等价．

解析

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考研数学一

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