2. 考研
  3. 设α，β是三维单位正交列向量，令A＝αβT＋βαT．证明： (1)｜A ｜＝0； (2)α＋β，α－β是A的特征向量； (3)A相似于对角阵，并写出该对角阵．

设α，β是三维单位正交列向量，令A＝αβT＋βαT．证明： (1)｜A ｜＝0； (2)α＋β，α－β是A的特征向量； (3)A相似于对角阵，并写出该对角阵．

admin2016-01-25  61
问题 设α，β是三维单位正交列向量，令A＝αβT＋βαT．证明：
(1)｜A ｜＝0；
(2)α＋β，α－β是A的特征向量；
(3)A相似于对角阵，并写出该对角阵．
选项
答案(1)A为三阶矩阵， r(A)＝r(αβT＋βαT)≤r(αβT)＋r(βαT)≤r(α)＋r(β)≤2＜3， 故｜A｜＝0． (2)因α，β为三维单位正交向量，故 αTα＝1，βTβ＝1，αβT＝βαT＝0． 当然α，β线性无关，又α，β为单位向量，α＋β≠0，故 A(α＋β)＝(αβT＋βαT)(α＋β)＝αβTα＋αβTβ＋βαTα＋βαTβ ＝α.0＋α.1＋β.1＋β.0＝α＋β 即α＋β为A的对应于特征值λ1＝1的特征向量．同法可求 A(α－β)＝(αβT＋βαT)(α－β)＝αβTα－αβTβ＋βαTα－βαTβ ＝α.0－α.1＋β.1÷β.0＝－(α－β)， 故α－β为A的对应于特征值λ2＝－1的特征向量． 设另一特征值为λ3，由｜A｜＝0得到｜A｜＝λ1λ2λ3＝0，故λ3＝0． (3)因A有3个不同特征值，故A～A＝diag(0，1，一1)，即其相似对角矩阵为 A＝diag(0，1，一1)(diag为对角矩阵的英文简写)．
解析 (1)利用r(B＋C)≤r(B)＋r(C)，r(BC)≤r(B)，r(C)，证明r(A)＜3；
(2)利用特征向量的定义，即利用A(α＋β)＝k(α＋β)，A(α－β)＝C(α－β)证之；
(3)证明A有3个不同的特征值即可．
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考研数学三

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