[2012年] 设函数f(x)=(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)=( )．

admin2021-01-25 58

问题 [2012年] 设函数f(x)=(e^x－1)(e^2x－2)…(e^nx－n)，其中n为正整数，则f’(0)=( )．

选项 A、(－1)^n-1(n－1)!
B、(－1)ⁿ(n－1)!
C、(－1)^n-1n!
D、(－1)ⁿn!

答案A

解析解一  用乘积求导公式求之．注意到因子e^x－1在x=0时为0，故求导结果只留下一个非零项，即不含因子e^x－1的项，其导数为(e^x－1)’=e^x，因而
         f’(0)=[e^x(e^2x－2)…(e^nx－n)]｜_x=0
            =1·(－1)·(－2)·…·[－(n－1)]=(－1)^n-1(n－1)!
仅(A)入选．
解二

仅(A)入选．

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考研数学三

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