已知是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。

admin2017-12-29 36

问题已知

是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P^—1AP=Λ。

选项

答案A的特征多项式为 [*] =（λ一2n+1）（λ一n+1）^n—1，则A的特征值为λ₁=2n一1，λ₂=n一1，其中λ₂=n一1为n一1重根。当λ₁=2n一1时，解齐次方程组（λ₁E—A）x=0，对系数矩阵作初等变换，有 [*] 得到基础解系α₁=（1，1，…，1）^T。当λ₂=n一1时，齐次方程组（λ₂E一A）x=0等价于x₁+x₂+…+x_n=0，得到基础解系 α₂=（一1，1，0，…，0）^T，α₃=（一1，0，1，…，0）^T，…，α_n=（一1，0，0，…，1）^T，则A的特征向量是k₁α₁和k₂α₂+k₃α₃+…+k_nα_n，其中k₁≠0，k₂，k₃，…，k_n不同时为零。 [*]

解析

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考研数学三

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