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  3. 已知矩阵A＝能相似对角化，求正交变换化二次型χTAχ为标准形．

已知矩阵A＝能相似对角化，求正交变换化二次型χTAχ为标准形．

admin2018-06-12  77
问题 已知矩阵A＝能相似对角化，求正交变换化二次型χTAχ为标准形．
选项
答案由A的特征多项式 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－6)2(λ＋2)， 知矩阵A的特征值是λ1＝λ2＝6，λ3＝－2．由于矩阵A可以相似对角化，故λ＝6必有2个线性无关的特征向量，那么由 r(6E－A)＝[*]＝1， 得知a＝0．因此χTAχ＝2χ12＋2χ22＋6χ32＋10χ1χ2． 二次型的矩阵为A1＝[*]．由 ｜λE－A1｜＝[*]＝(λ－6)(λ－7)(λ＋3)， 知二次型χTAχ＝χTA1χ的特征值是6，7，－3． 对λ＝6，由(6E－A1)χ＝0得α1＝(0，0，1)T． 对λ＝7，由(7E－A1)χ＝0得α2＝(1，1，0)T． 对λ＝－3，由(－3E－A1)χ＝0得α3＝(1，－1，0)T． 不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有 [*] 那么，令P＝(γ1，γ2，γ3) [*] 则经χ＝Py，有χTAχ＝6y12＋7y22－3y32．
解析
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考研数学一

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