已知矩阵A＝能相似对角化，求正交变换化二次型χTAχ为标准形．

admin2018-06-12 97

问题已知矩阵A＝

能相似对角化，求正交变换化二次型χ^TAχ为标准形．

选项

答案由A的特征多项式｜λE－A｜＝[*]＝(λ－6)²(λ＋2)，知矩阵A的特征值是λ₁＝λ₂＝6，λ₃＝－2．由于矩阵A可以相似对角化，故λ＝6必有2个线性无关的特征向量，那么由 r(6E－A)＝[*]＝1，得知a＝0．因此χ^TAχ＝2χ₁²＋2χ₂²＋6χ₃²＋10χ₁χ₂．二次型的矩阵为A₁＝[*]．由｜λE－A₁｜＝[*]＝(λ－6)(λ－7)(λ＋3)，知二次型χ^TAχ＝χ^TA₁χ的特征值是6，7，－3．对λ＝6，由(6E－A₁)χ＝0得α₁＝(0，0，1)^T．对λ＝7，由(7E－A₁)χ＝0得α₂＝(1，1，0)^T．对λ＝－3，由(－3E－A₁)χ＝0得α₃＝(1，－1，0)^T．不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有 [*] 那么，令P＝(γ₁，γ₂，γ₃) [*] 则经χ＝Py，有χ^TAχ＝6y₁²＋7y₂²－3y₃²．

解析

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考研数学一

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