2. 考研
  3. 若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)＝tnf(x，y)， (*) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数 (**)

若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)＝tnf(x，y)， (*) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数 (**)

admin2017-08-18  86
问题 若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)＝tnf(x，y)， (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
(**)
选项
答案设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)＝tnf(x，y)([*]t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得 xf’1(tx，ty)＋yf’2(tx，ty)＝ntn—1f(x，y)([*] t＞0)， 令t＝1，则xf’x(x，y)＋yf’y(x，y)＝nf(x，y)． 现设上式成立．考察φ(t)＝[*]，由复合函数求导法则可得 φ’(t)＝[*][xf’1(tx＋ty)＋yf’2(tx，ty)]—[*]f(tx，ty) [*][txf’1(tx，ty)＋tyf’2(tx，ty)—nf(tx＋ty)]＝0， 即φ(t)为常数，φ(t)＝φ(1)＝f(x，y)，即f(tx，ty)＝tnf(x，y)
解析
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考研数学一

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