2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f’(x)＋f(x)－∫0xf(t)dt＝0． (1)求f’(x)；(2)证明：当X≥0时，e－x≤f(x)≤1．

设函数f(x)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f’(x)＋f(x)－∫0xf(t)dt＝0． (1)求f’(x)；(2)证明：当X≥0时，e－x≤f(x)≤1．

admin2018-01-23  80
问题 设函数f(x)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f’(x)＋f(x)－∫0xf(t)dt＝0．
(1)求f’(x)；(2)证明：当X≥0时，e－x≤f(x)≤1．
选项
答案(1) (x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(t)dt＝0，两边求导数，得 (x＋1)f’’(x)＝－(x＋2)f’(x)[*]． 再由f(0)＝1，f’(0)＋f(0)＝0，得f’(0)＝－1，所以C＝－1，于是f’(x)＝[*]． (2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f’(0)＝1，所以f(x)≤f(0)＝1． 令g(x)＝f(x)－e－x，g(0)＝0，g’(x)＝f’(x)＋e－x＝[*]≥0， 由[*]f(x)≥e－x(x≥0)．
解析
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考研数学三

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