设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q=，使得QTAQ=，又令B=A2+2E，求矩阵B．

admin2021-01-14 73

问题设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q=

，使得Q^TAQ=

，又令B=A²+2E，求矩阵B．

选项

答案由Q^TAQ=[*] 得A的特征值为λ₁=2，λ₂=一1，λ₃=1，且λ₁=2对应的特征向量为ξ₁=[*] 由A^T=A得B^T=(A²+2E)^T=(A²)^T+2E=A^T+2E=B，即B为实对称矩阵．显然B的特征值为λ₁=6，λ₂=λ₃=3，且B相应于特征值λ₁=6的特征向量为ξ₁=[*] 设B的相应于λ₂=λ₃=3的特征向量为ξ=[*] 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以ξ₁^T=0，即x₁+x₂+x₃=0，于是B的相应于特征值λ₂=λ₃=3的线性无关的特征向量为ξ₂=[*] [*]

解析

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