设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2018-08-03 81

问题设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵．试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB))x＞0．即 (Bx)^TA(Bx)＞0 于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有r(B)=n．充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0 只有零解，从而对任意实n维列向量x≠0，有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)=x^T(B^TAB)x＞0．于是当x≠0时，x^T(B^TAB)x＞0，故B^TAB为正定矩阵．

解析

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