已知A，B均是3阶非零矩阵，且A2=A，B2=B，AB=BA=0，证明0和1必是A与B的特征值，并且若α是A关于λ=1的特征向量，则α必是B关于λ=0的特征向量．

admin2016-10-26 83

问题已知A，B均是3阶非零矩阵，且A²=A，B²=B，AB=BA=0，证明0和1必是A与B的特征值，并且若α是A关于λ=1的特征向量，则α必是B关于λ=0的特征向量．

选项

答案由于A²=A，则A的特征值只能是0或1，又因(A—E)A=0，A≠0，知齐次方程组(A—E)x=0有非零解，故｜A—E｜=0，即λ=1必是A的特征值．据AB=0，B≠0，得Ax=0有非零解，那么｜0E—A｜=｜A｜=0，故0必是A的特征值．由于已知条件的对称性，0与1必是B的特征值．对于Aα=α，同时左乘矩阵B，得 Bα=B(Aα)=(BA)α=0α=0=0α，所以α是矩阵B关于λ=0的特征向量．

解析

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考研数学一

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