2. 考研
  3. 设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt，则f(x)=___________．

设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt，则f(x)=___________．

admin2018-03-30  25
问题 设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt，则f(x)=___________．
选项
答案[*]
解析 f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt(第—个积分令x—t=u)
    =一∫x0f(u)du+∫01f2(t)dt=∫0xf(u)du+∫01f2(t)dt．
令∫01f2(t)dt=a，于是
    f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，
解得f(x)=Cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得
    a=∫01f2(t)dt=a2∫01e2tdt=(e2—1)．
解得a=0(舍去)，a．
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考研数学三

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