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已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．
已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．
admin
2016-04-29
92
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
－4x
1
x
2
－4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换x=Qy化为标准形f(x
1
，x
2
，x
3
)=3y
1
2
+3y
2
2
+by
3
2
，求参数a，b及所用的正交变换．
选项
答案
本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题． 二次型的矩阵为 [*] 由题设知矩阵A的特征值为λ
1
=3，λ
2
=3，λ
3
=b．由特征值的性质， [*] 解得a=－2，b=－3，从而矩阵A的特征值是3，3，－3． 当λ=3时，对(3E－A)x=0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α
1
=（－1，1，0）
T
，α
2
=（－1，0，1）
T
． 当λ=－3时，对(－3E－A)=0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α
2
=（1，1，1）
T
． 将α
1
，α
2
，Schmidt正交化，令 [*] 令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)，经过正交变换x=Qy，f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形 f(x
1
，x
2
，x
3
)=3y
1
2
+3y
2
2
－3y
3
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/G9T4777K
0
考研数学三
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