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  3. 下面是人教版高中数学必修5的一节内容，请据此回答下面的问题。 1．1．1 正弦定理 探究 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢? 在△ABC中，如果已知∠A所对的边BC长为a，∠B所对

下面是人教版高中数学必修5的一节内容，请据此回答下面的问题。 1．1．1 正弦定理 探究 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢? 在△ABC中，如果已知∠A所对的边BC长为a，∠B所对

admin2019-06-10  70
问题 下面是人教版高中数学必修5的一节内容，请据此回答下面的问题。
1．1．1   正弦定理
探究
我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢?
在△ABC中，如果已知∠A所对的边BC长为a，∠B所对的边AC长为b，∠C所对的边AB长为c，我们研究∠A，∠B，∠C，a，B，c之间有怎样的数量关系。
由于我们不容易直接得到一般三角形中边和角的关系，所以，我们先考虑直角三角形这种特殊的情形。
如图1．1-1，在Rt△ABC中，∠C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及锐角三角函数。根据正弦函数的定义，

那么对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢?

如图1．1-2，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义
CD=ainB，
CD=bsinA，
所以
asinB=bsinA，
得到

同理，在△ABC中，

当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?是否可以用其他方法证明正弦定理?
从上面的讨论和探究，我们得到下面的定理。
正弦定理(law of sines)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形(solving triangles)。
问题：
在讲解完正弦定理的证明之后，设计一个教学片段进行小结和内容上的提升。
选项
答案师：我们刚才给出的就是正弦定理的证明。正弦定理是三角形边角关系的量化表示，它对所有的三角形，不管是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形都适用。大家想想，我们在证明正弦定理的过程中，为什么先证明它在直角三角形中成立，然后再证明在一般的三角形中也成立呢，其中用了什么数学思想呢?大家想想。 生1：因为直角三角形比较特殊…… 生2：因为在直角三角形中证明．比较简单…… 生3：因为先证明在直角三角形中成立，证得的这个结论在后边证明在一般三角形是否成立时用到了…… 师：大家说的都正确。正弦定理在直角三角形中很容易就证明了，用的是锐角三角函数的定义。而证明它在一般三角形中也成立时，是将锐角三角形和钝角三角形转化到直角三角形中来证明的。这里体现的数学思想就是从特殊到一般的归纳推理思想。 师：大家想想，利用正弦定理，我们可以解决一些怎样的解三角形问题呢? 生4：已知两角一边…… 生5：已知两边一角…… 师：看来大家掌握得不错，我再总结一下。如果已知三角形的两角和一边，就可以根据三角形内角和定理求出另外一个角，进而由正弦定理计算出另外两边。那么，如果已知三角形的两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值。 师：我刚才说的是计算出另外一边的对角的正弦值，而不是直接计算出另外一边的对角。大家知道为什么这么说吗?这个问题留作一个思考题，下节课为大家解答。
解析
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