设有抛物线绕z轴旋转得到旋转抛物面，其位于第一卦限部分上的动点P处的切平面与三坐标面围成四面体．求该四面体体积的表达式V，并求其最小值；

admin2021-08-02 56

问题设有抛物线

绕z轴旋转得到旋转抛物面，其位于第一卦限部分上的动点P处的切平面与三坐标面围成四面体．
求该四面体体积的表达式V，并求其最小值；

选项

答案旋转抛物面方程z=2—(x²+y²)，且其位于第一卦限部分上任意一点P(x,y,z)处的切平面方程为2xX+2yY+Z=4—z，即 [*] 故四面体的体积为V=[*].令F(x,y,z,λ)=3ln(4—z)—lnx—lny+λ(x²+y²+z—2).由 [*] 解得x=y=[*],z=1.这是唯一驻点，故[*]，即为所求.

解析

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