设函数f(x)连续，且满足f(x)+∫0x(x一2一t)dt=6(x一2)ex，求f(x)。

admin2020-12-10 57

问题设函数f(x)连续，且满足f(x)+∫₀^x(x一2一t)dt=6(x一2)e^x，求f(x)。

选项

答案由积分方程f(x)+∫₀^x(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)e^x可知f(0)=一12。由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x一2)e^x是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得 f^’(x)+∫₀^xf(t)dt一2f(x)=6(x一1)e^x，且f^’(0)=一30。同理可知f(x)二次可导，上式两端对x求导得 f^’’(x)一2f^’(x)+f(x)=6xe^x。该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ²—2λ+1=0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C₁+C₂x)e^x。因非齐次项Q(x)=6xe^x，可设非齐次方程的一个特解为f^*(x)=(Ax+B)x²e^x，代入f^’’(x)一2f^’(x)+f(x)=6xe^x可求得A=1，B=0，从而原方程的解为f(x)=(C₁+C₂x+x³)e^x。利用初值条件f(0)=一12，f^’(0)=一30可得C₁=一12，C₂=一18，故 f(x)=(x³一18x一12)e^x。

解析

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考研数学二

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